中学生のデュラチャ民をお助けします。 計算分野の単元はほぼ網羅しています。
正負の数 (中1レベル) 文字式 (中1～中2レベル) 1次方程式 (中1レベル) 平面図形と空間図形 (中1レベル) 連立1次方程式 (中2レベル) 1次関数 (中1～中2レベル) 展開 (中3レベル) 因数分解 (中3レベル) 平方根 (中3レベル) 2次方程式 (中3レベル) 三平方の定理 (中3レベル) 2次関数 (中3レベル) コメント欄
0より大きい数字を正の数といい、 0より小さい数字を負の数という。 5や2.4といった数字は正の数であるが、 これらの数字の直前には+(プラス)という 記号が省略されていて、これを正の符号という。 (例：5=+5 , 2.4=+2.4) Aを正の数としたとき、0よりA小さい数字を - (マイナス)という記号を用いて -Aと表し、この記号を負の符号という。 (例：0より3小さい数字は-3) 【例題1】 0より8大きい数字を符号を用いて表せ。
解説：+8 (8の直前には+が省略されている)
補足：8のように、正の整数を自然数という。 数直線において、0からの距離を絶対値という。 3は0より3大きい数字なので絶対値は3であり、 -3も0より3小さい数字なので絶対値は3となる。 【例題2】 絶対値が6になる数字を答えよ。
解説：6と-6 (どちらも0から6だけ離れている)
一般に、数直線の右側にある数字ほど大きくなる。 【例題3】 -5と-7の大小関係を不等号で表せ。
解説：-5>-7 (-5の方が右側にある)
負の分数の逆数を求めるときは負の符号のまま 分母と分子を入れ替えれば良い。 【例題4】 -3の逆数を求めよ。
-3=-(3/1) よって、-3の逆数は-(1/3)。
正負の計算には次のようなルールがある。 +,-,×,÷は連続してはいけない。 4に-1を足すときは4+-1ではなく、( )を 補って4+(-1)と表さなければならない。 引く、かける、割るときも同様である。 正負の四則演算は次のように決める。 計算に関わる-の個数が奇数のときは計算結果に -がつき、偶数のときは計算結果に+がつく。 最終的な計算は数直線で考えると良い。 ( ) → { } → [ ] → ×,÷ → +,- の順に計算する必要があるので気を付ける。 なお、aとbは0以上の数字とし、 割り算においてはb≠0とする。 a+(-b)=a-b a-(-b)=a+b (-a)+(-b)=-a-b (-a)-(-b)=-a+b a×(-b)=-(a×b) (-a)×b=-(a×b) (-a)×(-b)=a×b a÷(-b)=-(a÷b) (-a)÷b=-(a÷b) (-a)÷(-b)=a÷b ※計算に関わる部分の-の個数を数える。 たとえば、(-a)+(-b)では-が2個あるが 計算に関わるのは+とその右側の-であり、 -は1個となるので-a-bとなる。 【例題5】 7+(-3)×{-6-(-4)} を計算せよ。
解説：7+(-3)×{-6-(-4)}=7+(-3)×(-6+4) =7+(-3)×(-2)=7+3×2=7+6=13
足し算とかけ算においては次の等式が成り立つ。 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A×B=B×A A×(B×C)=(A×B)×C ※A,B,Cは正でも負でも構わない。 【例題6】 (-82)+100 を計算せよ。
解説：(-82)+100=100+(-82)=100-82=18
これまでは、分数において分子が分母よりも 大きくなる場合は帯分数(1と3分の2など)に 直していたが、今後は仮分数(3分の5など)で良い。 【例題7】 -(2/3)÷(5/9) を計算せよ。
解説：-(2/3)÷(5/9)=-{(3/2)÷(5/9)} =-{(2/3)×(9/5)}=-(6/5)
同じ数字をかけ合わせものをその数字の累乗という。 たとえば、4×4は4²と表して4の2乗と読み、 右肩の数字を指数という。(ここでは2が指数) 逆に、4²は4×4のことであり、計算すると16になる。 負の数の累乗を表現するときは(-4)²のように ( )で挟む。-4²と表現した場合は-4ではなく 4をかけ合わせることになり、計算すると-16になる。 指数はその直前の数字にしか効果がない。 【例題8】 (-2)⁴÷(-2²)を計算せよ。
解説：(-2)⁴÷(-2²) =(-2)×(-2)×(-2)×(-2)÷{-(2×2)} =16÷(-4)=-4
【例題9】 2+3²を計算せよ。
解説：2+3²=2+3×3=2+9=11
※指数はその直前の数字にしか効果がない。 よって、2+3²=(2+3)²とはならない。 作成日：2020年5月12日 更新日：2020年5月12日
文字を用いた式のことを文字式といい、 乗法、除法の計算結果をそれぞれ積、商という。 ※足し算を加法、引き算を減法といい、 かけ算を乗法、割り算を除法という。 文字を用いた積の表し方： [1] 数字と文字の積では数字を先に書く。 [2] 文字同士の積ではアルファベット順に書く。 (敢えてアルファベット順にしないこともある) [3] 文字を含む乗法では×を省略する。 [4] 1と文字の積、-1と文字の積では1を省略する。 [5] 同じ文字の積は指数を用いて表す。 文字を用いた商の表し方： [1] 文字を含む除法では÷を用いずに分数で表す。 [2] 文字式に限らず、分母や分子に負の符号が あるときはその-を分数の左側に移動させる。 【例題1】 次の積を文字式の表し方に従って表せ。 (1) x×3 (2) y×z×x (3) a×1 (4) b×(-1) (5) b×a×b×(-2) (6) a÷(-3)
解説：(1) x×3=3×x=3x , (2) y×z×x=x×y×z=xyz (3) a×1=1×a=1a=a , (4) b×(-1)=(-1)×b=-1b=-b (5) b×a×b×(-2)=(-2)×a×b×b=-2ab² (6) a÷(-3)=a×{1/(-3)}=a×{-(1/3)}=-(1/3)a (a÷(-3)=a/(-3)=-(a/3)としても良い)
いろいろな数量を文字式で表してみよう。 【例題2】 200円の商品をx個と300円の 商品をy個買ったときの値段を求めよ。
解説：200×x+300×y=200x+300y よって、値段は(200x+300y)円。
円周率3.141592・・・をπと表し、パイと読む。 πは特殊な文字であり、文字の前、数字の後ろに書く。 特殊とはいえ、πは文字であるから×は省略する。 【例題3】 半径 r cmの円について考える。 円周の長さおよび面積を求めよ。
解説：円周の長さはr×2×π=2πr[cm] 面積はr×r×π=π×r×r=πr²[cm²]
※1=1cmは成り立たないので、[ ]の中に単位を 補足した。2πr[cm]という式があるわけではない。 答えるときは2πr cm , πr² cm²などと書く。 πは円周率であることを説明する必要はない。 演算記号の+や-を含まない式を単項式といい、 単項式の和で表せる式を多項式という。 多項式に含まれるそれぞれの単項式を項といい、 特に数字だけの項を定数項という。文字を含む 単項式の数字にあたる部分を係数という。 ※足す、引くのことであり、符号のことではない。 【例題4】 3a²-4b-8の項、係数、定数項を答えよ。
解説：3a²-4b-8=3a²+(-4)b+(-8) 項：3a²,-4b,-8 係数：a²の係数は3,bの係数は-4 定数項：-8
単項式において、かけ合わされている文字の個数を 次数という。指数と区別すること。(→正負の数) x³y²の次数は5であるが、指数が5とは言わない。 指数はここでは3や2のことである。(右肩の数字) 【例題5】 6x²yの次数を答えよ。
解説：6x²y=6x²y¹より、次数は3。
多項式において、各項の次数の中で 最大のものをその多項式の次数とする。 【例題6】 -5x²y²+y³-2の次数を答えよ。
解説：各項の次数は左から順に4,3,0。 よって、求める次数は4。
多項式の項の中で、文字の部分が同じ項を 同類項といい、1つの項にまとめることができる。 このことを、同類項をまとめるという。 分配法則mx+nx=(m+n)xを利用する。 【例題7】 x-3+4x+2の同類項をまとめよ。
解説：x-3+4x+2=x+4x-3+2 =(x+4x)+(-3+2)=(1+4)x-1=5x-1
複雑な多項式の同類項をまとめてみよう。 【例題8】 次の多項式の同類項をまとめよ。 3a²b-5b²c+a²b-4b+5b²c-b
解説：3a²b-5b²c+a²b-4b+5b²c-b =3a²b+a²b-5b²c+5b²c-4b-b =(3+1)a²b+(-5+5)b²c+(-4-1)b =4a²b-5b
多項式を加えたり引いたりするときは その多項式に( )を補う。計算方法は次の通り。 加法 → そのまま( )だけ外す。 減法 → ( )内の各項の符号を変えて( )を外す。 ※多項式に関わらず、意味のない( )は外れる。 例：(-4)+3=-4+3=-1 【例題9】 次の計算をせよ。 (1) (2a-3)+(5a+1) (2) (x-2)-(4x-3)
解説：(1) (2a-3)+(5a+1)=2a-3+5a+1=7a-2 (2) (x-2)-(4x-3)=x-2-4x+3=-5x+1
単項式、多項式と数字の乗法、除法は これまでの知識で計算することができる。 多項式と数字の乗法、除法では多項式に ( )を補い、分配法則などによって計算する。 【例題10】 次の計算をせよ。 (1) 7x×2 (2) 4(3x+1) (3) 32x÷4 (4) 6a÷{-(3/5)} (5) (14x-21y)÷7
解説：(1) 7x×2=7×2×x=14x (2) 4(3x+1)=4×3x+4×1=12x+4 (3) 32x÷4=(32×x)/4=8x (4) 6a÷{-(3/5)}=6a×{-(5/3)} =-{6a×(5/3)}=-{(6×a×5)/3}=-10a (5) (14x-21y)÷7=(14x-21y)×(1/7) =14x×(1/7)-21y×(1/7)=2x-3y
いろいろな計算をしてみよう。 【例題11】 次の計算をせよ。 (1) 3(x+2)+2(3x-5) (2) {(x-3y)/3}-{(3x-5y)/2}
解説：(1) 3(x+2)+2(3x-5) =3x+6+(6x-10)=3x+6+6x-10=9x-4 (2) {(x-3y)/3}-{(3x-5y)/2} ={2(x-3y)-3(3x-5y)}/6 ={2x-6y-(9x-15y)}/6 =(2x-6y-9x+15y)/6 =(-7x+9y)/6 別解 {(x-3y)/3}-{(3x-5y)/2} =(1/3)(x-3y)-(1/2)(3x-5y) =(1/3)x-y-{(3/2)x-(5/2)y} =(1/3)x-y-(3/2)x+(5/2)y =(1/3)x-(3/2)x+(5/2)y-y ={(2-9)/6}x+{(5-2)/2}y =-(7/6)x+(3/2)y
単項式同士の乗法では係数の積に文字の積をかける。 【例題12】 次の計算を計算せよ。 (1) 4a×5b (2) 6x×(-3x)
解説：(1) 4a×5b=4×a×5×b =4×5×a×b=20ab 別解 4a×5b=(4×5)ab=20ab (2) 6x×(-3x)=6×x×(-3)×x =6×(-3)×x×x=-18x² 別解 6x×(-3x)={6×(-3)}x²=-18x²
単項式同士の除法もこれまでの知識で計算できる。 乗法のように係数同士、文字同士で割っても良い。 【例題13】 次の計算をせよ。 (1) 20a²b÷(8/5)ab (2) 15xy×(-2x)÷5xy²
解説：(1) 20a²b÷(8/5)ab =20a²b÷{(8ab)/5} =20a²b×{5/(8ab)} =(20a²b×5)/(8ab) =(5a×5)/2=(25/2)a 別解 20a²b÷(8/5)ab ={20÷(8/5)}×(a²÷a)×(b÷b) ={20×(5/8)}×a =(25/2)a (2) 15xy×(-2x)÷5xy² =-{(15xy×2x)/(5xy²)} =-{(6x)/y} 別解 15xy×(-2x)÷5xy² ={15×(-2)÷5}×(x×x÷x)×(y÷y²) =(-6x)×(1/y)=-{(6x)/y}
※20a²b÷(8/5)abは20a²b÷(8/5)×a×b のことではなく、20a²b÷{(8/5)ab}のこと。 式の中の文字に数字を当てはめることを 代入するという。代入の計算をしてみよう。 【例題14】次の式の値を求めよ。 (1) a=4のときの5a-1の値 (2) a=3 , b=-4のときの5a-2bの値
解説：(1) 5a-1=5×4-1=20-1=19 (2) 5a-2b=5×3-2×(-4)=15+8=23
複雑な式の値を求めるときは 式を簡単にしてから代入する。 【例題15】 x=-8 , y=11のとき、 3(x+2y)-2(3x-y)の値を求めよ。
解説：3(x+2y)-2(3x-y) =3x+6y-(6x-2y)=3x+6y-6x+2y =-3x+8y=-3×(-8)+8×11 =24+88=112
文字式を利用した文章題を扱ってみよう。 【例題16】 2つの奇数の和は偶数である。 そのわけを文字を用いて説明しなさい。
解説：2つの奇数は、整数m,nを用いて 2m+1 , 2n+1と表すことができる。 このとき、(2m+1)+(2n+1)=2m+1+2n+1 =2m+2n+2=2(m+n+1)。ここで、m+n+1は 整数なので2つの奇数の和は偶数である。
作成日：2020年5月12日 更新日：2020年5月12日
等号=を用いた式を等式といい、等号の 左側の式を左辺、右側の式を右辺という。 また、左辺と右辺を合わせて両辺という。 xがある値のときに成立する等式をxについての 方程式といい、特にax+b=0 (a≠0) の形で 表せる等式をxについての1次方程式という。 方程式を成立させる文字の値をその方程式の 解といい、解を求めることを方程式を解くという。 等式の性質： [1] A=B ならば A+C=B+C [2] A=B ならば A-C=B-C [3] A=B ならば AC=BC [4] A=B ならば A/C=B/C (C≠0) 方程式 3x-8=10 を解くにはまず両辺に8を加える。 3x-8+8=10+8、すなわち3x=10+8となる。 元の方程式と見比べると、左辺の-8は符号を変えて 右辺に移動していることが分かる。このように、 一方の辺にある項を符号を変えてもう一方の辺に 移動させることを移項するという。移項した後は [3]や[4]のようにかけたり割ったりすれば良い。 この方程式の場合、3x=18となるので [4]より、両辺を3で割ってx=6となる。 【例題1】 1次方程式 7x-4(3x-5)=5 を解け。
解説：7x-4(3x-5)=5 → 7x-(12x-20)=5 → -5x+20=5 → -5x=5-20 → -5x=-15 → x=3
係数に分数を含む方程式では、両辺に分母の 最小公倍数をかけて分数を含まない形に直す。 このように変形することを分母を払うという。 最小公倍数の求め方(自然数が3つ以上の場合)： | は割り算の筆算の記号(厂)の横棒を下側に つけた記号(カーブのあるL)だと思ってほしい。 8,6,9の最小公倍数を求める場合、2つ以上の 数字で共通に割れる1以外の自然数を見つける。 6と9は3で割れるので、まず次のように書く。 | の横棒は1番後ろの9まで引くこと。 3 | 8,6,9 8,2,3 また、8と2は2で割れるので次のように書く。 3 | 8,6,9 2 | 8,2,3 4,1,3 4,1,3では、どの2つの数字に着目しても 1以外の自然数では割れないので終了。 L字型に数字をかけ合わせることで 最小公倍数が得られる。8,6,9の場合、 最小公倍数は3×2×4×1×3=72となる。 【例題2】 1次方程式 (1/2)x=(1/3)x-(5/4) を解け。
解説：2,3,4の最小公倍数は2×1×3×2=12より、 両辺に12をかけて6x=4x-15。4xを移項して 6x-4x=-15。すなわち、2x=-15。 よって、両辺を2で割ってx=-(15/2)。
係数に小数を含む方程式では、両辺に 10の累乗(10,100,1000など)を かけて小数を含まない形に直す。 【例題3】 次の1次方程式を解け。 0.22x-0.4=0.3x-0.08
解説：両辺に100をかけて22x-40=30x-8。 22xを移項して-40=8x-8。-8を移項して -32=8x。すなわち、8x=-32なので 両辺を8で割ってx=-4。
1次方程式を利用した文章題を解いてみよう。 【例題4】1個80円のみかんと1個140円のりんごを 合わせて12個買うと代金の合計は1260円であった。 みかんとりんごをそれぞれ何個買ったか求めよ。
解説：みかんをx個買うとりんごは12-x個買うことになる。 このとき、80x+140(12-x)=1260が成り立つ。 80x+140(12-x)=1260 → 80x+1680-140x=1260 → -60x+1680=1260 → 60x-1680=-1260 → 60x=420 → x=7 , 12-x=12-7=5 よって、みかんを7個、りんごを5個買った。
比 a:b について、a/bを比の値という。 a:bの比の値とc:dの比の値が等しいとき、 すなわちa/b=c/dであるとき、a:b=c:dと表す。 このように、比で表された等式を比例式という。 a/b=c/dのとき、両辺にbdをかけるとad=bcになる。 よって、a:b=c:dのときad=bcが成り立つ。 【例題5】 次の比例式を満たすxの値を求めよ。 (4x+3):6x=3:2
解説：(4x+3)×2=6x×3 → 8x+6=18x → 6=10x → 10x=6 → x=3/5
【例題6】 等式150x+100y=1000・・・① においてyを求めることを①をyについて解くという。 ①をxについて解け。また、①をyについて解け。
解説：150x+100y=1000 → 150x=1000-100y → 3x=20-2y → x=(20-2y)/3 (x=-(2/3)y+(20/3)) 150x+100y=1000 → 100y=1000-150x → y=10-(3/2)x (y=-(3/2)x+10) (y=(20-3x)/2)
半径r、円周率πの円において 円の面積をS、円周の長さをLとすると S=πr² , L=2πrが成り立つ。 扇形は円の一部であり、面積や弧の長さは 円の中心角の大きさに比例するので 半径r、中心角a°、円周率πの扇形において 扇形の面積をS、弧の長さをLとすると S=πr²×(a/360) , L=2πr×(a/360)が成り立つ。 L=2πr×(a/360)の両辺を(1/2)r倍すると (1/2)rL=πr²×(a/360)=Sとなり、 S=(1/2)rLという等式も成り立つ。 【例題1】 次の値をそれぞれ求めよ。 (1) 半径5の円の面積Sと円周の長さL。 (2) 半径4、中心角90°の扇形の面積Sと弧の長さL。 (3) 半径6、弧の長さ10の扇形の面積S。 (4) 弧の長さπの扇形の面積が3となる扇形の半径r。
解説：(1) S=π×5²=25π , L=2π×5=10π (2) S=π×4²×(90/360)=4π , L=2π×4×(90/360)=2π (3) S=(1/2)×6×10=30 (4) r=(2×3)/π=6/π
立体の1つの底面の面積を底面積、 側面全体の面積を側面積、 全ての面の面積の和を表面積という。 【例題2】 円錐の頂点と底面を結んだ線分を 母線という。底面の半径r、母線Lの円錐において 側面積Sを求めよ。(ヒント：展開図を利用する)
解説：円錐の展開図を考えると底面は円、側面は扇形になる。 このとき、扇形の弧の長さL'と円周の長さは等しいので L'=2πr。よって、S=(1/2)LL'=(1/2)L×2πr=πrL。
【例題3】 底面の半径が7、母線の長さが 5であるような円錐の表面積Sを求めよ。
解説：例題2より、S=π×7²+π×7×5=49π+35π=84π。
底面積S、高さhの角柱の体積VはV=Sh。 底面の半径r、高さhの円柱の体積VはV=πr²h。 底面積S、高さhの角錐の体積VはV=(1/3)Sh。 底面の半径r、高さhの円錐の体積VはV=(1/3)πr²h。 【例題4】 次の立体の体積を求めよ。 (1) 底面が1辺3の正方形で高さ4の正四角錐の体積V。 (2) 底面の半径が6で高さ5の円錐の体積V。
解説：(1) V=(1/3)×3²×4=12 (2) V=(1/3)×π×6²×5=60π
半径rの球の体積VはV=(4/3)πr³。 半径rの球の表面積SはS=4πr²。 【例題5】 半径2の球の表面積Sと体積Vを求めよ。
解説：S=(4/3)π×2³=(32/3)π , V=4π×2²=16π
方程式をいくつか組み合わせたものを 連立方程式といい、特に2つの文字を含み、 それぞれについて1次の方程式であるものを 連立1次方程式という。全ての方程式を同時に 成立させる文字の値の組を連立方程式の解といい、 解を求めることを連立方程式を解くという。 連立1次方程式の解き方： [1] 代入法 → 代入によって文字を消去して解く。 [2] 加減法 → 加減によって文字を消去して解く。 【例題1】 次の連立方程式を解け。(代入法) y=3x-5 , 2x+y=5
解説：y=3x-5を2x+y=5に代入すると 2x+(3x-5)=5x-5=5。→ 5x=10 → x=2 x=2をy=3x-5に代入してy=3×2-5=6-5=1。 よって、x=2 , y=1。
【例題2】 次の連立方程式を解け。(加減法) 5x+2y=1 , 4x-3y=-13
解説：5x+2y=1・・・① , 4x-3y=-13・・・② ①×3より、15x+6y=3・・・③ ②×2より、8x-6y=-26・・・④ ③+④より、(左辺同士、右辺同士で足し合わせる) 23x=-23。→ x=-1 → ①にx=-1を代入すると -5+2y=1。→ 2y=6 → y=3 よって、x=-1 , y=3。
※消去する文字の係数の絶対値を一致させること。 xを消去する場合はxの係数を20や-20にする。 連立方程式を利用した文章題を解いてみよう。 【例題3】 2種類の品物A,Bがある。A3個とB1個の 質量は880g、A1個とB2個の質量は560gである。 このとき、A,Bそれぞれの1個の質量を求めよ。
解説：A1個の質量を x g、B1個の質量を y gとすると 3x+y=880・・・① x+2y=560・・・② ①×2-②より、(左辺同士、右辺同士で引く) 5x=880×2-560=1760-560=1200。 → x=240 → ①にx=240を代入すると3×240+y=720+y=880。 → y=880-720=160 よって、A1個240g、B1個160g。
y=2x+1にx=1を代入するとy=3になる。 このように、xの値を決めることで yの値がただ1つに決まるとき、 yはxの関数であるという。 x,yのようにいろいろな値をとる文字を 変数といい、y=axのaのように 一定の数字を意味する文字を定数という。 0≦x≦7のように変数のとりうる値の 範囲を変域といい、xの変域を 定義域、yの変域を値域という。 【例題1】 A地点から1800m離れたB地点まで 分速200mで自転車に乗って移動するとき、 その人がA地点を出発してからx分後に進んだ 距離を y mとして定義域を求めよ。
解説：y=200xと表せる。0≦y≦1800より 200x=0 , 200x=1800となるxを求めることで 定義域は0≦x≦9になることが分かる。
y=ax(aは定数)で表される等式が あるとき、yはxに比例するという。 xの値が2倍、3倍、・・・になると yの値も2倍、3倍、・・・になる。 また、定数aを比例定数ともいう。 y=a/x(aは定数)で表される等式が あるとき、yはxに反比例するという。 xの値が2倍、3倍、・・・になると yの値は1/2倍、1/3倍、・・・になる。 また、定数aを比例定数ともいう。 【例題2】 yはxに比例し、x=5のとき y=-15である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) yをxの式で表せ。 (2) x=-2のときのyの値を求めよ。
解説：(1) y=ax (aは定数)にx=5,y=-15を代入して -15=5a。すなわち、5a=-15。これより、a=-3。 よって、y=-3xとなる。 (2) y=-3xにx=-2を代入してy=-3×(-2)=6。
【例題3】 yはxに反比例し、x=4のとき y=-6である。このとき、次の問いに答えよ。 (1) yをxの式で表せ。 (2) x=-3のときのyの値を求めよ。
解説：(1) y=a/x (aは定数)にx=4,y=-6を代入して -6=a/4。すなわち、a/4=-6。これより、a=-24。 よって、y=-(24/x)となる。 (2) y=-(24/x)にx=-3を代入してy=-{24/(-3)}=8。
平面上に垂直な2つの数直線(→、↑)を引く。 このとき、→をx軸、↑をy軸といい、 x軸とy軸を合わせて座標軸という。 x軸とy軸の交点を原点といい、Oで表す。 Oから右にa、上にb移動した点を(a,b)と書く。 aをx座標、bをy座標といい、(a,b)を座標という。 点Pの座標が(a,b)である場合はP(a,b)と書く。 このように、座標軸を定めて点の位置を座標で 表すことができる平面を座標平面という。 【例題4】 点(-3,2)を左へ4、 下へ3移動した点Pの座標を求めよ。
解説：-3-4=-7、2-3=-1より、P(-7,-1)。
点(a,b)と対称な点は次のように定める。 x軸に関して対称な点の座標は(a,-b)。 y軸に関して対称な点の座標は(-a,b)。 原点に関して対称な点の座標は(-a,-b)。 【例題5】 点(8,6)のy軸に関して対称な点を答えよ。
解説：x座標の符号が変わるので、(-8,6)。
2点(a,b),(c,d)を結ぶ線分の中点の座標は ((a+b)/2,(c+d)/2)で表される。 【例題6】 2点(-2,9),(4,1)を結ぶ 線分の中点の座標を求めよ。
解説：(-2+4)/2=2/2=1 , (9+1)/2=10/2=5 よって、求める座標は(1,5)となる。
yがxの関数で、yがxの1次式で表されるとき yはxの1次関数であるといい、 y=ax+b(a,bは定数)の形で表される。 このとき、aを傾き、bをy切片という。 また、1次関数のグラフの形は直線である。 1次関数において、変化の割合を (変化の割合)=(yの増加量)/(xの増加量) と決める。実は傾きと変化の割合は等しい。 よって、1次関数 y=ax+b において (変化の割合)=a (一定) が成り立つ。 これより、(yの増加量)=a×(xの増加量)となる。 【例題7】 1次関数 y=ax+b (a>0) において xの値がx1からx2まで増加するとき、変化の割合は x1,x2の値に関わらず常にaとなることを示せ。
解説：(xの増加量)=x2-x1 , (yの増加量)=(ax2+b)-(ax1+b)=a(x2-x1) よって、(変化の割合)={a(x2-x1)}/(x2-x1)=aとなる。
※a<0の場合も同様に(変化の割合)=a。 【例題8】 1次関数 y=-(1/3)x+5 においてxの値が 6から2まで減少したときのyの増加量を求めよ。
解説：(yの増加量)=-(1/3)×(2-6)=4/3
1次関数の値域について考えてみよう。 【例題9】 1次関数 y=-2x+3 (-2≦x≦1) が与えられているとき、値域を求めよ。
解説：x=-2のとき、y=-2×(-2)+3=4+3=7。 x=1のとき、y=-2×1+3=-2+3=1。 よって、値域は1≦y≦7となる。
与えられた条件から1次関数の式を求めよう。 【例題10】 次の条件を満たす1次関数の式を それぞれ求めなさい。((1)と(2)は別の問題) (1) 変化の割合が4でx=-1のときy=-12。 (2) 2点(-1,6),(3,-2)を通る。
解説：(1) y=4x+b (bは定数) と表せる。 この直線は(-1,-12)を通るので-12=-4+b。 b=-12+4=8。よって、求める式はy=4x-8。 (2) (変化の割合)=(-2-6)/{3-(-1)}=(-8)/4=-2 (変化の割合)=(傾き)より、y=-2x+bと表せる。 この直線は(-1,6)を通るので6=2+b。b=4。 よって、求める式はy=-2x+4。
直線と直線の交点の座標を求めるには 代入法によって連立方程式を解けば良い。 【例題11】 次の2つのグラフの交点の座標を求めよ。 y=(1/2)x+1 , y=-(1/2)x+4
解説：連立方程式 y=(1/2)x+1 , y=-(1/2)x+4 を解く。 y=(1/2)x+1をy=-(1/2)x+4に代入すると (1/2)x+1=-(1/2)x+4。 → x+1=4 → x=3 x=3をy=(1/2)x+1に代入すると、y=(3/2)+1=5/2。 したがって、交点の座標は(3,5/2)となる。
単項式と多項式の積，または多項式同士の積を 1つの多項式で表すことを展開するという。 ※演算記号の+や-を含まない式を単項式といい， 単項式の和で表せる式を多項式という。 たとえば、例題1においては3が単項式であり， x-2が多項式である。(x-2=x+(-2)と表せ， xと-2は単項式であるからx-2は多項式) 【例題1】 3(x-2) を展開せよ。
解説：分配法則a(b-c)=ab-acより，3(x-2)=3x-6
次に多項式同士の積について考えてみよう。 (a+b)(c+d)を展開するにはa+b=eとおけば良い。 (a+b)(c+d) =e(c+d) =ec+ed =(a+b)c+(a+b)d =ac+bc+ad+bd =ac+ad+bc+bd これを利用すれば様々な展開の公式が導ける。 (x+a)(x+b) =x²+bx+ax+ab =x²+(a+b)x+ab (x+a)² =(x+a)(x+a) =x²+ax+ax+a² =x²+2ax+a² (x-a)² =(x-a)(x-a) =x²-ax-ax+a² =x²-2ax+a² (x+a)(x-a) =x²-ax+ax-a² =x²-a² 展開の公式： (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab (x+a)²=x²+2ax+a² (x-a)²=x²-2ax+a² (x+a)(x-a)=x²-a² 【例題2】 4(x+1)(x-2) を展開せよ。
解説：4(x+1)(x-2)=4(x²-2x+x-2) =4(x²-x-2)=4x²-4x-8
【例題3】 (x+6)² を展開せよ。
解説：(x+6)²=x²+2×6×x+6²=x²+12x+36
【例題4】 2(x-3)² を展開せよ。
解説：2(x-3)²=2(x²-2×3×x+3²) =2(x²-6x+9)=2x²-12x+18
【例題5】 (x+7)(x-7) を展開せよ。
解説：(x+7)(x-7)=x²-7²=x²-49
【例題6】 (3x-4)(5x+3) を展開せよ。
解説：(3x-4)(5x+3)=15x²+9x-20x-12=15x²-11x-12
共通部分をまとめたり，項の順序を入れ替えたり することで簡単に展開できる場合がある。 【例題6】 (x+y-2)(x+y+5) を展開せよ。
解説：(x+y-2)(x+y+5)={(x+y)-2}{(x+y)+5} =(x+y)²+5(x+y)-2(x+y)-10=(x+y)²+3(x+y)-10 =x²+2xy+y²+3x+3y-10
【例題7】 (x+4)²(x-4)² を展開せよ。
解説：(x+4)²(x-4)²=(x+4)(x+4)(x-4)(x-4) ={(x+4)(x-4)}²=(x²-4²)²=(x²-16)² =(x²)²-2×16×x²+16²=x⁴-32x²+256
【例題8】 (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) を展開せよ。
解説： (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) =(a²+b²+ab)(a²+b²-ab) ={(a²+b²)+ab}{(a²+b²)-ab} =(a²+b²)²-(ab)² =(a²)²+2a²b²+(b²)²-a²b² =a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²=a⁴+a²b²+b⁴
ある多項式を単項式と多項式， または多項式同士の積で表すことを 因数分解するという。また，ある多項式の 各項に共通に含まれる整数や文字のことを 共通因数といい，共通因数を前に出すことを 共通因数でくくるという。一般に，共通因数で くくることで因数分解することができる。 【例題1】 9a²x+3ax²-6ax を因数分解せよ。
解説：9a²x+3ax²-6ax=3ax(3a+x-2)
共通因数が見当たらない場合は， 展開の公式の両辺を入れ替えた 式を利用することで因数分解できる。 因数分解の公式： x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) x²+2ax+a²=(x+a)² x²-2ax+a²=(x-a)² x²-a²=(x+a)(x-a) 【例題2】 3x²-6x-45 を因数分解せよ。
解説：3x²-6x-45=3(x²-2x-15) 足して-2，かけて-15になる2数は 3と-5より，3x²-6x-45=3(x+3)(x-5)
【例題3】 x²+10x+25 を因数分解せよ。
解説：x²+10x+25=x²+2×5×x+5²=(x+5)²
※例題2と同様のやり方でも因数分解できる。 【例題4】 9x²-24ax+16a² を因数分解せよ。
解説：9x²-24ax+16a² =(3x)²-2×4a×3x+(4a)²=(3x-4a)²
【例題5】 2x²-162 を因数分解せよ。
解説： 2x²-162=2(x²-81)=2(x²-9²)=2(x+9)(x-9)
共通部分を置き換えることで 簡単に因数分解できる場合がある。 【例題6】 (x-2)²-3(x-2)-10 を因数分解せよ。
解説：x-2=aとおくと，(x-2)²-3(x-2)-10=a²-3a-10 足して-3，かけて-10になる2数は2と-5より， a²-3a-10=(a+2)(a-5)=(x-2+2)(x-2-5)=x(x-7) よって，(x-2)²-3(x-2)-10=x(x-7)
この単元で登場する小文字は全て正とする。 aと-aはまとめて±aと表すことができ， プラスマイナスaと読む。 【例題1】 2と-2をまとめよ。
解説：2と-2をまとめると±2となる。
2乗してaになる数字をaの平方根という。 aの平方根のうち，負でない方を √aと表し，ルートaと読む。 ※0についても同様に考えると 0の平方根は0であり， 0は負ではないから√0=0となる。 【例題2】 16の平方根を求めよ。 また，√9の値を求めよ。
解説：2乗して16になる数字は4と-4の 2種類だから16の平方根は±4 2乗して9になる数字は3と-3の2種類だが， 負でない方は3だから√9=3
√aは面積がaである正方形の 1辺の長さとも言い換えられる。 よって，次の公式が得られる。 (√a)²=a 一般に，(-A)²=A²が成り立つから A=√aとおくことで次の公式が得られる。 (-√a)²=a これより，aの平方根は±√aと表せる。 【例題3】 17の平方根を求めよ。
解説：17の平方根は±√17
※例題2においても16の平方根は ±√16と表せるが，√16=4と簡単な数字で 表せるので16の平方根は±4となる。 先ほど，√aは面積がaである正方形の 1辺の長さと説明した。正方形の面積が 大きいほど1辺の長さも大きくなるから aの値が大きいほど√aの値も大きくなる。 【例題4】 √23と5の大小関係を求めよ。
解説：√a=5とおくと，両辺を2乗して a=25と求まるから5=√25 √23<√25より，√23<5と求まる。
公式(√a)²=aを利用すると (√a×√b)²=√a×√b×√a×√b =√a×√a×√b×√b =a×b =ab {√(ab)}²=ab これより，(√a×√b)²={√(ab)}² A²=B²のとき，AとBの符号が一致するなら A=Bが成り立つから次の公式が得られる。 √a×√b=√(ab) 同様にして次の公式も得られる。 (√b)/(√a)=√(b/a) 【例題5】 √2×√3 を計算せよ。 また，(√15)/(√3) を計算せよ。
解説：√2×√3=√(2×3)=√6 (√15)/(√3)=√(15/3)=√5
2,3,5,7のように正の約数が2個しかない 自然数を素数といい，自然数を 素数の積で表すことを素因数分解という。 【例題6】 60を素因数分解せよ。
解説：60÷2=30 , 30÷2=15 , 15÷3=5より， 割った数と最後の商に注目して60=2×2×3×5=2²×3×5
ある数字に√aをかけるとき，×を省略できる。 ここで，公式(√a)×(√b)=√(ab)を利用すると √(k²a)=√(k²)×√a=k×√a=k√a よって，次の公式が得られる。 √(k²a)=k√a 【例題7】 √48をa√bの形で表せ。 （bはできるだけ小さくすること）
解説：√48=√(2×2×2×2×3)=√(2²×2²×3)=2×2×√3=4√3
ax+bx=(a+b)x および ax-bx=(a-b)xより， xを√cに置き換えることで次の公式が得られる。 a√c+b√c=(a+b)√c a√c-b√c=(a-b)√c ※√の中は足し引きできない。 例えば√4+√9=2+3=5より，√4+√9≠√13 【例題8】 √18-√8 を計算せよ。
解説：√18-√8=√(2×3²)-√(2²×2)=3√2-2√2=√2
※1xのことをxと表すように1√2とせずに√2とする。 展開や因数分解の公式を 利用すれば複雑な計算もできる。 【例題9】 {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²- {(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² を計算せよ。
解説：(7+4√3)⁴=A , (7-4√3)⁴=Bとおくと {(7+4√3)⁴+(7-4√3)⁴}²-{(7+4√3)⁴-(7-4√3)⁴}² =(A+B)²-(A-B)²={A+B+(A-B)}{A+B-(A-B)} =2A×2B=4AB=4(7+4√3)⁴(7-4√3)⁴ =4{(7+4√3)(7-4√3)}⁴=4(49-48)⁴=4
分数の分母に√を含むとき，分母の√を 分子に移動させることを分母の有理化という。 分母を有理化するには分母と分子に 同じ値をかければ良い。 【例題10】 1/√20 の分母を有理化せよ。
解説：1/√20=1/√(2²×5)=1/(2√5) =(1×√5)/(2√5×√5)=(√5)/(2×5)=(√5)/10
展開の公式(a+b)(a-b)=a²-b²を利用すれば 分母が複雑な場合も分母を有理化できる。 【例題11】 1/(√5+√2) の分母を有理化せよ。
解説：1/(√5+√2)={1(√5-√2)}/{(√5+√2)(√5-√2)} =(√5-√2)/(5-2)=(√5-√2)/3
(xの2次式)=0の形で表せる方程式を xについての2次方程式という。 【例題1】 2次方程式 x²=32 を解け。
解説：x=±√32=±4√2
【例題2】 2次方程式 x²-6x+9=0 を解け。
解説：x²-6x+9=(x-3)²=0 ∴x=3
【例題3】 2次方程式 x²=-8 を解け。
解説：2乗して負になる数字は存在しない。∴解なし
上記の例題より，2次方程式の解は0～2個存在する。 2次方程式の解が2個のときは例題1のように ±で表す他にカンマを用いて解を表すことがある。 【例題4】 2次方程式 x²-3x-10=0 を解け。
解説：x²-3x-10=(x+2)(x-5)=0 ∴x=-2,5
移項することで解ける2次方程式もある。 【例題5】 2次方程式 (2x+1)(x-3)=3x²+x+6 を解け。
解説：(2x+1)(x-3)=2x²-5x-3より，2x²-5x-3=3x²+x+6 左辺を右辺に移項して両辺を入れ替えると x²+6x+9=(x+3)²=0 ∴x=-3
2次方程式の中には因数分解できないものもある。 そういうときは，両辺に数字を加えたり引いたり してから因数分解すれば良い。こうすることで どんな2次方程式でも解けるようになる。 ax²+bx+c=0 (a≠0) の解を求めてみよう。 ax²+bx+c=0 (a≠0) 4a(ax²+bx+c)=0 4a²x²+4abx+4ac=0 4a²x²+4abx=-4ac (2ax)²+2(2ax)b=-4ac (2ax)²+2(2ax)b+b²=b²-4ac (2ax+b)²=b²-4ac 2ax+b=±√(b²-4ac) 2ax=-b±√(b²-4ac) x={-b±√(b²-4ac)}/(2a) 解の公式Ⅰ： ax²+bx+c=0 (a≠0) のとき x={-b±√(b²-4ac)}/(2a) 【例題6】 2次方程式 2x²+5x-1=0 を解け。
x=(-5±√{5²-4×2×(-1)})/(2×2)=(-5±√33)/4
xの係数が偶数のとき，解の公式は次のように表せる。 ax²+bx+c=0 (a≠0 , b=2b') x={-b±√(b²-4ac)}/(2a) =(-2b'±√{(2b')²-4ac})/(2a) =(-2b'±√{4(b')²-4ac})/(2a) ={-2b'±√(4{(b')²-ac})}/(2a) =(-2b'±2√{(b')²-ac})/(2a) ={2(-b'±√{(b')²-ac})}/(2a) =(-b'±√{(b')²-ac})/a 解の公式Ⅱ： ax²+2b'x+c=0 (a≠0) のとき (-b'±√{(b')²-ac})/a x²の係数が負のときは両辺に-1をかけると良い。 【例題7】 2次方程式 -3x²+8x-2=0 を解け。
解説：3x²-8x+2=0より，3x²+2(-4)x+2=0 x=(-(-4)±√{(-4)²-3×2})/3=(4±√10)/3
xの部分がax+bの形ならば，ax+bをまず求める。 【例題8】 2次方程式 5(3x+2)²+6(3x+2)-3=0 を解け。
解説：5(3x+2)²+2×3×(3x+2)-3=0より， 3x+2=(-3±√{3²-5×(-3)})/5=(-3±√24)/5=(-3±2√6)/5 3x=(-13±2√6)/5 ∴x=(-13±2√6)/15
三平方の定理(ピタゴラスの定理)： 直角三角形において、直角を挟む2辺の長さが a,b、斜辺の長さがcのとき、a²+b²=c²。 【例題1】 上記の定理を示せ。
解説：1辺の長さがa+bの正方形の中に正方形の 直角と上記の直角三角形の直角が重なるように 4つの直角三角形を配置すると、中央に 1辺をcとする新たな正方形が出来上がる。 この正方形の面積Sを2通りの方法で表す。 [1] S=(a+b)²-(1/2)ab×4=a²+2ab+b²-2ab=a²+b² [2] S=c² [1],[2]より、a²+b²=c²が成り立つ。
【例題2】 斜辺の長さが3cm、他の1辺の長さが2cmの 直角三角形において、残りの辺の長さを求めよ。
解説：残りの辺の長さを x cmとする。 三平方の定理より、x²+2²=3²。→ x²+4=9 → x²=5 → x>0より、x=√5。 よって、残りの辺の長さは√5cm。
【例題3】 1辺の長さが1cmの正方形 において、対角線の長さを求めよ。
解説：対角線の長さを x cmとする。 三平方の定理より、1²+1²=x²。 → 2=x² → x²=2 → x>0より、x=√2。 よって、対角線の長さは√2cm。
30°,60°,90°の角をもつ直角三角形は 正三角形を二等分した図形であるため、 (両端が60°と90である辺の長さ): (両端が30°と90である辺の長さ): (両端が30°と60である辺の長さ): =1:2:√3が成り立つ。 45°,45°,90°の角をもつ直角三角形は 正方形を二等分した図形であるため、 (両端が45°と90である辺の長さ): (両端が45°と90である辺の長さ): (両端が45°と45である辺の長さ): =1:1:√2が成り立つ。 【例題4】 ABを斜辺とする直角三角形ABCにおいて ∠B=30° , AC=5cmのとき、残りの辺の長さを求めよ。
解説：ACは両端が60°と90°である辺なので AB=2AB=2×5=10[cm] , BC=(√3)AB=5√3[cm]。
【例題5】 1辺の長さがaの正三角形の面積Sを求めよ。
解説：1つの頂点から対辺に垂線を下ろせば良い。 よって、S=(1/2)×a×{(√3)/2}a={(√3)/4}a²。
【例題6】 2点A(6,4),B(1,-2)間の距離ABを求めよ。
解説：ABを斜辺とし、他の2辺がx軸、y軸に 平行であるような直角三角形ABCを作ると、 BC=6-1=5 , AC=4-(-2)=6より、AB²=5²+6² =25+36=61。AB>0より、AB=√61。
※2点A(x1,y1),B(x2,y2)間の距離ABは √{(x2-x1)²+(y2-y1)²}で求められる。 作成日：2020年4月10日 更新日：2020年4月10日
y=ax²(a≠0かつaは定数)の形で表される xの関数yをx²に比例する関数という。 これは2次関数 y=ax²+bx+c において b=c=0とした関数であるから、 y=ax²は2次関数の1つである。 本格的な2次関数は高1で学習する。 【例題1】 yはx²に比例する関数でx=3のとき y=36となる。このとき、yをxの式で表せ。
解説：yはx²に比例する関数なので y=ax²(a≠0)とおける。x=3,y=36を代入して 36=9a。a=4。したがって、y=4x²。
2次関数 y=ax² のグラフの特徴： [1] 原点を通り、y軸について対称である。 [2] a>0のとき、上に開いた形をしている。 [3] a<0のとき、下に開いた形をしている。 関数 y=ax² のグラフにおける曲線を放物線という。 ※上に開いた放物線は下に凸であるといい、 下に開いた放物線は上に凸であるという。 2次関数 y=ax² の値域を求めてみよう。 【例題2】 2次関数 y=-(1/2)x² (-1≦x≦3/2) が与えられているとき、値域を求めよ。
解説：2次関数 y=-(1/2)x²は上に凸の放物線を 描くので、原点から離れるほどyの値は小さくなる。 よって、x=3/2のときにyの値が最も小さくなる。 y=-(1/2)x²にx=3/2を代入すると y=-(1/2)×(3/2)²=-(9/8)。 したがって、値域は-(9/8)≦y≦0となる。
【例題3】 2次関数 y=ax² (a>0) において xの値がx1からx2まで増加するときの 変化の割合を求めよ。
解説：(変化の割合)={a(x2)²-a(x1)²}/(x2-x1) ={a(x2+x1)(x2-x1)}/(x2-x1)=a(x1+x2)
※a<0の場合も同様に(変化の割合)=a(x1+x2)。 【例題4】 2次関数 y=2x² においてxの値が -2から0まで増加するときの変化の割合を求めよ。
解説：(変化の割合)=2×(-2+0)=2×(-2)=-4
放物線と直線の交点の座標を求めるには 代入法によって連立方程式を解けば良い。 【例題5】 次の2つのグラフの交点の座標を求めよ。 y=x² , y=x+6
解説：連立方程式 y=x² , y=x+6 の解を求める。 y=x²をy=x+2に代入すると、x²=x+6。 → x²-x-6=(x+2)(x-3)=0 → x=-2のときy=4 , x=3のときy=9。 したがって、交点の座標は(-2,4)と(3,9)となる。
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